Немного арифметики

Структура противоречий, которая определяет содержание большинства эволюционных процессов, протекающих в обществе, и связанная с преодолением экологических трудностей, такова, что их нельзя считать строго антагонистическими в математическом смысле этого слова. Другими словами: в спектре интересов участников конфликта есть всегда общие составляющие. Отсюда и универсальность многих общетеоретических построений. Надо заметить, что эта особенность свойственна и животному миру: чисто антагонистические ситуации встречаются отнюдь не часто. Даже в такой классической и хорошо изученной экологами ситуации, как «хищник и жертва», прямого антагонизма нет: хищник без жертв погибнет - это более или менее очевидно, но и жертвы, например, копытные, при отсутствии хищников довольно быстро вырождаются.. Это утверждение основывается на обширном экспериментальном материале.

В общественной жизни такое явление носит особенно четко выраженный характер. Оно является следствием чрезвычайной сложности взаимосвязей и взаимозависимостей между различными субъектами, активность которых определяет мировой эволюционный процесс.

Заметим, что именно сложное переплетение интересов и взаимосвязей определяет устойчивость общественных структур, подобно тому, что удивительная устойчивость башни Шухова определяется не массивностью конструкций, а большим количеством внутренних связей между ее элементами.

Так же обстоит дело и со структурой конфликтов, пронизывающих человеческое общество. Это свойство конфликтных ситуаций особенно отчетливо прослеживается на современном этапе развития общества, когда мы оказываемся вынужденными учитывать при выборе наших действий экологические факторы.

После этих замечаний перейдем к обсуждению нашего примера. Предположим, что два независимых субъекта, которых мы обозначим через А и В, - это руководители двух заводов, расположенных на берегу одного и того же водоема - озера или реки. Я употребил термин «независимые субъекты», предполагая, что каждый из них имеет определенный ресурс и может его расходовать по собственному усмотрению. Условимся для определенности, что эти субъекты - директора заводов, - принадлежат разным ведомствам или даже странам. Это означает, что между ними нет связей иерархического типа, но могут быть другие связи, обусловленные экологическими факторами.

Предположим далее, что каждый из этих заводов имеет свою «эгоистическую» цель - предельно увеличить собственную прибыль. Но для производства и жизни им всем нужна чистая вода - одним больше, другим меньше, и так или иначе каждому из этих предприятий приходится выделять часть средств из собственного бюджета на очистку водоема и создание очистных сооружений.

Итак, каждый из субъектов находится в условиях, когда ему приходится делать выбор способа распределения своего ограниченного ресурса по обеим целям. Другими словами, распределение ресурса ставит перед каждым из субъектов некоторую задачу многокритериальной оптимизации: надо и доход иметь побольше и воду почище, а ресурс один и тот же. Да и к тому же качество воды зависит не только от самого субъекта, но и от его партнера, ведь они используют одну и ту же воду!

Возникает очевидная и непростая задача - создать такую систему отчислений на очистку воды, которая была бы всем этим предприятиям выгодна. В некотором смысле даже оптимальная - чтобы никому из предприятий было бы невыгодно отклоняться от принятых договорных отношений. Заметим, что эта ситуация удовлетворяет условию монотонности, которое использовал в своих исследованиях Ю. Б. Гермейер: чем больше партнеры выделят денег (или других ресурсов) на очистку воды, тем чище будет вода.

Попробуем теперь эту проблему описать с помощью языка математики. Наши пояснения будут очень просты, но они позволят увидеть некоторые специфические особенности проблемы.

Итак, есть два предприятия А и В. Каждое из них располагает некоторым ресурсом. Пусть это будут деньги. (В реальной жизни бывает сложнее: приходится учитывать многие виды ресурсов. Но такое упрощение не изменит содержания проблемы. Обозначим через Q_A. и Q_В количество денег, которые могут потратить предприятия А и В соответственно. Через У_А и У_в - те доли ресурсов, которые руководители предприятий А и В предполагают вложить в развитие своих предприятий, а через Х_А и Х_В - доли своих ресурсов, которые они собираются использовать для очистки воды. Предположим также, что других трат у предприятий нет. Тогда очевидны следующие балансы:

Значит,

Выделяя на развитие или реконструкцию предприятия сумму У_А, руководство предприятия должно знать тот эффект, который оно получит от этой деятельности, например, дополнительную прибыль. Обозначим ее через Ψ_А(У_А), Ψ_A будет, очевидно, монотонно зависеть от величины инвестиций У_А: чем больше предприятие вкладывает в собственную реконструкцию, тем больший будет эффект. Точно так же мы определим и функцию Ψ_В (У_В ) - результат капиталовложений в реконструкцию предприятия В.

Теперь о капиталовложениях в очистные сооружения. Качество воды, которое мы обозначим через Ф, будет зависеть от того, какое количество денег вложили оба партнера, то есть от их общих действий.

Эта функция будет монотонно возрастающей по каждому из переменных Х_А или X_B и, соответственно, монотонно убывающей по У_А и У_В.

Итак, на этом языке интересы предприятия А мы можем записать в следующей форме:

И точно так же для предприятия В:

То есть каждое из предприятий стремится максимизировать и свой доход Ψ и чистоту воды Ф. Они не могут делать это независимо друг от друга, поскольку качество воды зависит от их совместных действий.

Обратим внимание на то, что мы сталкиваемся в этой ситуации с одной промежуточной и очень непростой задачей. Поясним ее следующим образом.

Предположим, что предприятию Л известны действия предприятия В, то есть ему известна величина Q_B - У_В = количество денег, которое предполагает предприятие В вложить в очистку воды. Тогда предприятие А становится независимым от предприятия В. Как же ему в этом случае разделить свой ресурс Q_A по двум целям? Оказывается, что эта задача не может быть решена средствами математики - она требует дополнительной гипотезы: руководство предприятием должно уметь соизмерять свои интересы. Другими словами, оно должно уметь ввести некоторый коэффициент λ_А, соизмеряющий критерии Ψ_А и Ф. Теперь мы эти критерии будем записывать как Ф и λ_АΨ_А и полагать, что Ф и λ_АΨ_А имеют по величине один порядок. Это означает, что чем меньше ХА, тем большее значение субъект А, то есть руководство предприятия, придает своему внутреннему (эгоистическому) критерию Ψ_А.

Примечание. Если руководство предприятия не может соизмерить или сопоставить важность этих показателей, то это означает одно из двух: либо ему безразличны величины этих показателей, то есть они не отражают его интересов, либо оно некомпетентно. В обоих случаях такое руководство не должно иметь юридического права определять судьбу своего предприятия. Эти случаи мы рассматривать не будем.

Поскольку теперь критерии Ф и λ_АΨ_А имеют один порядок, то мы можем, как это принято говорить в исследовании операций, сделать свертку обоих критерием, то есть заменить критерии хРл и Ф одним. Это можно сделать многими способами. В данном случае удобно в качестве такого нового критерия ввести величину

то есть новый критерий определяется наименьшим из чисел Ф(У_А, У_В) и λ_АΨ_А(У_А). Напомним, что величину ув мы считаем фиксированной.

Смысл этого нового критерия можно пояснить с помощью рисунка 7. Величина λ_АΨ_А (У_А) монотонно возрастает вместе с ростом капиталовложений У_А. Ф - степень очистки - будет, очевидно, монотонно убывающей функцией У_А, поскольку чем больше денег будет истрачено на реконструкцию предприятия, тем меньше останется на очистку воды. Эти кривые изображены на рисунке 7. На этом же рисунке пунктиром изображена зависимость величины W_A от У_А когда У_А = О, то есть все средства идут на очистку воды, то дополнительная прибыль равна 0. Следовательно, и W_A(0)=0. Точно так же и W_A (Q_A)=O, поскольку все деньги будут израсходованы па получение дополнительной прибыли, а вода будет такой же грязной, как и до очистки. Прибыль будет высокой, но зато вода вообще не будет очищаться. Очевидно, что у величины WA существует максимум, который достигается при значении W_А = У_А*.

Поскольку ценность этих критериев субъект А сумел соизмерить, то выбор величины У_А, а следовательно, и затрат на очистку воды X_A = Q_A - У_А очевиден: субъекту А выгоднее всего выбрать ее равной У_А⁺, то есть тому значению, которое доставляет критерию W_A максимальное значение.

Примечание. Еще раз: когда человек оказывается перед не обходимостьго обеспечить максимальное значение не одного, а двух или более показателей, он необходимо должен уметь их соизмерить. Соотношение этих показателей определяет их объективное значение для данного субъекта, для его общественной стабильности, его процветания. Другое дело, что субъект может точно не знать этого соизмерения: находится в плену иллюзий или традиций, допускает ошибки. Но существование величины λ_Асоизмеряющей показатели, - факт, объективно обусловленный внешними и внутренними условиями жизни того или иного социального организма.

Итак, объективные цели субъекта Л мы можем записать в следующем виде:

что означает, что субъект А стремится так выбрать соотношение средств, выделяемых на развитие предприятия и очистку воды, которое доставляет максимальное значение показателю W_A .

Точно так же и цели объекта В могут быть записаны в такой же форме:

Примечание. Заметим, что принятая «свертка» критериев - замена двух показателей одним - это тоже гипотеза. Но она имеет природу, совершенно отличную от выбора коэффициента λ, соизмеряющего показатели. В последнем случае этот «соизмеритель» объективно существует, но субъект его может не знать точно. Что же касается замены двух показателей одним, то это акт субъективный. Можно делать эту замену и по-другому. Однако предложенная свертка естественна - она означает, что каждый из субъектов стремится в максимальной степени улучшить худший из показателей.

Эти правила выбора полностью решали бы проблему, если бы действия обоих субъектов были бы независимы, но величина показателя, его оценка собственного положения зависит также и от величины ув, которая находится в распоряжении объекта В. Точно так же и W_B зависит не только от выбора субъекта В, но и от субъекта А.

Рис. 7. График критериев λ_АΨ_А, Ф и W_А при фиксированном значении У_В

Значит, в этих условиях взаимозависимости субъектов А и В любое индивидуальное решение без учета действий другого субъекта будет не просто неоправданным или необоснованным. Оно может оказаться по-настоящему вредным или даже опасным для субъекта, принимающего решение. В этом случае необходимо некоторое коллективное решение (или кооперативное решение, если использовать терминологию, принятую в теории конфликтов), которое мы и назвали «институтом согласия». Эти соглашения, как я уже говорил, должны быть взаимовыгодными и эффективными.

Так вот, основным результатом, основной заслугой теории Гермейера - Вателя является доказательство существования в данной конфликтной ситуации (а она конфликтна по нашему определению, поскольку показатели W_A и W_B не совпадают) взаимовыгодного и эффективного компромисса. Другими словами, в данной ситуации институт согласия возможен.

Более того, авторы дали правило отыскания этого кооперативного решения. Его можно сформулировать в следующем виде: коллективным, то есть совместным выбором величин УА и ув будут величины (уд =УА, УВ=УВ, удовлетворяющие условиям:

Решение, которое формально определяется этими выражениями, носит в математике название ситуации равновесия. Значит, теория утверждает, что взаимовыгодным и эффективным (то есть неулучшаемым) коллективным соглашением будет ситуация равновесия.

Но надо еще уметь найти это состояние равновесия. Оказалось, что и это сделать несложно. В теории Гермейера - Вателя показано: для того чтобы величины

и

пределяли ситуацию равновесия, необходимо и достаточно, чтобы они были решением следующей системы уравнений:

Итак, оказывается, чтобы построить «институт согласия», то есть найти такие кооперативные соглашения, которые выгодны обоим участникам рассматриваемой конфликтной ситуации, достаточно решить относительно простую систему уравнений.

Конечно, здесь я рассказал о ситуации, которая особенно проста. По и в более сложных случаях задача отыскания взаимовыгодных компромиссов, когда степень достижения общей цели монотонно зависит от вкладываемого ресурса, достаточно проста (см. подробнее в книге: Моисеев Н. Н.г Александров В. В., Тарко А. М. Человек и биосфера. Глава 7. М., 1985). Главная трудность состоит" не в математических расчетах. При построении «институтов согласия», как это видно из рассматриваемого, примера, необходимо знать структуру «целевых функций» W и Ф - как зависит степень очистки воды от вложенных средств, как зависят дополнительные доходы предприятий, их конкурентоспособность от вкладываемых капиталов и, наконец, как соотносятся основные показатели.

Последнее, может быть, самое трудное, поскольку при соизмерении показателей весьма большую роль играет субъективный фактор. Но эта трудность компенсируется одной замечательной особенностью кооперативных соглашений подобного рода: чем точнее каждый из субъектов представит свою информацию, тем выгоднее будет для него самого кооперативное соглашение. Возможные ошибки (так же, как и ложь) только снижают эффективность «института согласия». Поэтому если соглашение заключается повторно, то каждый из субъектов имеет возможность уточнить те данные, которые он представляет для выработки соглашения и которые раньше ему были плохо известны.

Все на 4 протезирование зубов на 4 имплантах.